Question

已知数列{a_n}满足a₁=5，a_n+1=3a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*）；
（1）证明：数列{a_n+2ⁿ⁺¹}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）若，求数列{b_n}的前n项和为S_n；
（3）令，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：．

Answer

（1）根据an+1=3an+2n+1（n∈N*），围绕数列{an+2n+1}，可进行构造，从而得证；
（2）利用，表示出数列{bn}的前n项和为Sn，再采用错位相减法求和；
（3）先根据，表示出cn，进而利用放缩法求前n项和为Tn，从而可证．
证明：（1）∵an+1=3an+2n+1（n∈N*）
∴an+1+2•2n+1=3（an+2×2n），
∵a1+2•21=9
∴{an+2n+1}是等比数列，公比为3
∴an+2n+1=3n+1
∴an=3n+1-2n+1
（2）

∴==
∴…（9分）
（3）
先证明，即证明，即证明，显然成立
∴
又
∴
∴．