Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，P点在平面ABCD内的射影为A，且PA=AB=2，E为PD中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（3）求二面角E-AC-D的正切值．

Answer

（1）连接BD交AC于点O，连接EO，因为O为BD中点，E为PD中点，可得EO∥PB，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明；
（2）因为P点在平面ABCD内的射影为A，可得PA⊥平面ABCD，又因为在正方形ABCD中CD⊥AD且PA∩AD=A，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；
（3）取AD中点L，过L作LK⊥AC于K，连接EK、EL，可得EL⊥平面ABCD，所以∠EKL为二面角E-AC-D的平面角，然后在Rt△ADC中，LK⊥AC，求∠EKL的正切值，从而求解．
【解析】
（1）证明：连接BD交AC于点O，连接EO．（1分）
∵O为BD中点，E为PD中点，
∴EO∥PB （2分）
∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，（3分）
∴PB∥平面AEC、（4分）

（2）证明：∵P点在平面ABCD内的射影为A，
∴PA⊥平面ABCD∵CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD．（5分）
又∵在正方形ABCD中CD⊥AD且PA∩AD=A，（6分）
∴CD⊥平面PAD、（7分）
又∵CD⊂平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD．（8分）

（3）解法1：取AD中点L，过L作LK⊥AC于K，连接EK、EL，（9分）
∵L为AD中点，
∴EL∥PA，
∴EL⊥平面ABCD，
∴LK为EK在平面ABCD内的射影．
又∵LK⊥AC，∴EK⊥AC，（11分）
∴∠EKL为二面角E-AC-D的平面角．（12分）
在Rt△ADC中，LK⊥AC，
∴△AKL∽△ADC，
∴，即，∴，（13分）
在Rt△ELK中，，
∴二面角E-AC-D的正切值为．（14分）
解法2：
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．（9分）
由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）．（10分）
∵PA⊥平面ABCD，
∴是平面ABCD的法向量，=（0，0，2）．
设平面AEC的法向量为，，
则即
∴
∴令y=-1，则．（12分）
∴，（13分）
∴．
∴二面角E-AC-D的正切值为．（14分）