Question

如图，在正方体OABC-O₁A₁B₁C₁中，P，Q分别是棱AB，B₁C₁上的动点，且AP=B₁Q，M、N、R分别为AB₁，PQ，BC₁的中点．
（Ⅰ）当时，求异面直线PM，A₁C₁所成的角；
（Ⅱ）求证：点N恒在线段MR上．

Answer

（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，设OA=1，进而用坐标表示向量．可得，利用向量的数量积可得夹角公式，故可求异面直线PM，A1C1所成角的余弦值．
（Ⅱ）要证点N恒在线段MR上，即证三点，M，N，R共线，即证
【解析】
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，设OA=1
则 O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0）
C（0，1，0），A1（1，0，1），O1（0，0，1）
R（．
当 时，P，
则，
所以 ．
故异面直线PM，A1C1所成角的余弦值为．
（Ⅱ）证明：设，则
P（1，λ，0），Q（1-λ，1，1），则．
所以 
而0≤λ≤1，故 点N恒在线段MR上．