Question

在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥面ABCD，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=3，BC=5．
（Ⅰ）求证：A₁C₁⊥AB；
（Ⅱ）求点B₁到平面ABC₁的距离．

Answer

（Ⅰ）连接A1B，由AB=CC1，知AB=BB1，由AA1⊥面ABCD，知AA1⊥AB．所以四边形ABB1A1为正方形．由此能够证明A1C1⊥AB．
（Ⅱ）由A1B1∥AB，知A1B1∥面ABC1．则A1到平面ABC1的距离即为B1到平面ABC1的距离．由AB⊥A1A，AB⊥A1C1，知AB⊥面AA1C1C，面ABC1⊥面AA1C1C．过A1作A1G⊥AC1于G，则A1G⊥面ABC1，则 A1G的长就是点A1到平面ABC1的距离．由此能求出点B1到平面ABC1的距离．
【解析】
（Ⅰ）证明：连接A1B，∵AB=CC1∴AB=BB1
又AA1⊥面ABCD∴AA1⊥AB
则四边形ABB1A1为正方形．∴AB1⊥A1B．∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥面A1BC1．∴AB1⊥A1C1，∵BB1⊥A1C1，∴A1C1⊥面A1ABB1，∴A1C1⊥AB
（Ⅱ）∵A1B1∥AB，∴A1B1∥面ABC1．
则A1到平面ABC1的距离即为B1到平面ABC1的距离．
由（ I）知，AB⊥A1A，AB⊥A1C1，∴AB⊥面AA1C1C，∴面ABC1⊥面AA1C1C．
过A1作A1G⊥AC1于G，则A1G⊥面ABC1，
则 A1G的长就是点A1到平面ABC1的距离．
在Rt△A1B1C1中，A1C12=B1C12-A1B12=52-32=16，A1C1=4，
在Rt△A1AC1中，AC12=A1C12+A1A2=42+32=25，AC1=5．
则由AC1•A1G=AA1•A1C1可得 5×A1G=3×4，∴
故 所求距离为．