Question

过点（1，0）的直线与中心在原点，焦点在x轴上且率心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB中点，同时椭圆C上存在一眯与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程．

Answer

本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式，再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解．
【解析】
由e==，得=，从而a2=2b2，c=b
设椭圆方程为x2+2y2=2b2，A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上
则x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，两式相减得，（x12-x22）+2（y12-y22）=0，=-
设AB中点为（x，y），则kAB=-，又（x，y）在直线y=x上，y=x，于是-=-1，kAB=-1，则l的方程为y=-x+1．
右焦点（b，0）关于l的对称点设为（x′，y′），则解得
由点（1，1-b）在椭圆上，得1+2（1-b）2=2b2，b2=，a2=
∴所求椭圆C的方程为，
l的方程为y=-x+1．