Question

已知函数（a＞0）
（1）证明：f（x）既不是奇函数又不是偶函数．
（2）求f（x）的值域．
（3）若对于f（x）定义域内的任意实数x₁，都能构造出一个无穷数列{x_n}，
使其满足条件x_n+1=f（x_n）（n∈N^*），求a的取值范围．

Answer

（1）由，，知，且，由此能够证明f（x）既不是奇函数又不是偶函数．
（2）令t=x-2a，t∈[-3a，-a]，，再由函数的单调性能够求出函数的值域．
（3）由题意可知，函数f（x）的值域B应为定义域A的子集，即B⊆A．由此能求出a的取值范围．
（1）证明：函数的定义域为[-a，a]
∵，
------（2分）
，
且
∴f（x）既不是奇函数又不是偶函数；----（4分）
（2）【解析】
令t=x-2a，t∈[-3a，-a]，
------（6分）
令，，
则f（k）在递增，在递减--（8分）
所以函数的值域为-----（10分）
（3）【解析】
由题意可知，
函数f（x）的值域B应为定义域A的子集，
即B⊆A------（12分）
∴a的取值范围为------（14分）