Question

已知函数f（a^x）=x，g（x）=2log_a（2x+t-2），其中a＞0且a≠1，t∈R．
（1）求函数y=f（x）的解析式，并指出其定义域；
（2）若t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2，求实数a的值；
（3）已知0＜a＜1，当x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）求函数y=f（x）的解析式，可以用换元法求解；
（2）根据函数的性质判断出函数的最小值，令其等于2，利用此方程求出实数a的值；
（3）令F（x）=g（x）-f（x），求出其在x∈[1，2]时最大值，让最大值小于等于0即可得到实数t的不等式，解此不等式即可．
【解析】
（1）令m=ax，则x=logam，则y=f（x）=logax，定义域为（0，+∞）；
（2）由题F（x）=g（x）-f（x）=2loga（2x+2）-logax=loga=oga（），
∵，等号当且仅当，即当x=1时成立
又F（x）=g（x）-f（x）有最小值2，可得loga16=2
故a2=16，a=4
（3）f（x）≥g（x），可得logax≥2loga（2x+t-2），
又0＜a＜1，可得≤2x+t-2，可得t≥-2x+2=-
由0＜a＜1，当x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立可得
t≥-2x+2=-在x∈[1，2]恒成立
由于x=1时-取到最大值1
可得t≥1