Question

已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点，点A，B是抛物线x²=4y上的两个动点，且满足，过点A，B分别作抛物线的两条切线，设两切线的交点为M，试推断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

Answer

（Ⅰ）要求椭圆方程，只需找到含a，b，c的3个等式即可，因为椭圆中心在原点，焦点在y轴上，可设椭圆方程为（a＞b＞0），由离心率为，可得=，由以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切可得，再由a2=b2+c2，可求出a，b，c，进而求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）先设出A（x1，y1），B（x2，y2）．由，得A，B坐标关系，再利用导数求过A，B 点的切线方程，联立求交点M坐标，计算的值，如能求出，则存在，如不能求出，则不存在．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆方程为（a＞b＞0）．（1分）
因为，得．又，则b2=2，a2=3．
故椭圆的标准方程是．
（Ⅱ）由椭圆方程知，c=1，所以焦点F（0，1），设点
由，得（-x1，1-y1）=λ（x2，y2-1），所以-x1=λx2，1-y1=λ（y2-1）．
于是x12=λ2x22．因为x12=4y1，x22=4y2，则y1=λ2y2．
联立y1=λ2y2和1-y1=λ（y2-1），得y1=λ，y2=．
因为抛物线方程为y=x2，求导得y′=x．设过抛物线上的点A、B的切线分别为l1，l2，则
直线l1的方程是y=x1（x-x1）+y1，即y=x1x-x12．
直线l2的方程是y=x2（x-x2）+y2，即y=x2x-x22．
联立l1和l2的方程解得交点M的坐标为．
因为x1x2=-λx22=-4λy2=-4．所以点M．
于是，=（x2-x1，y2-y1）．
所以==（x22-x12）-2（x22-x12）=0．
故为定值0．