Question

如图，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率e=，F₁、F₂分别为双曲线C的上、下焦点，M为上准线与渐近线在第一象限的交点，且=-1．
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线l交双曲线C的渐近线l₁、l₂于P₁、P₂，交双曲线于P、Q，且，求||的最小值．

Answer

（1）设出焦点坐标，利用=-1，结合离心率，求出a，c，b，即可求双曲线C的方程；
（2）设出直线l的方程，求出直线交双曲线C的渐近线l1、l2于P1、P2，结合，通过P在双曲线上，通过弦长公式求||的最小值．
【解析】
（1）设F1（0，c），F2（0，c）则M（），由=-1，
得=a2-c2=-1；
∵，
∴，
所以双曲线C的方程为：y2-x2=1．…（6分）
（2）设直线l的方程为y=kx+b，交双曲线C的渐近线l1、l2于P1（），P2（）；
由可得P
因为P在双曲线上，所以，
所以8b2=9（1-k2），
联立得即（k2-1）x2+2kbx+b2-1=0…（10分）
∴==≥．
当且仅当k=0时取等号．