Question

在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的（ ）
A．充要条件
B．2充分部必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

考查四个选项知，可先证充分性，由，“A＞B”推导“sinA＞sinB”，分A是锐角与A不是锐角两类证明即可；再证必要性，由于在（0，π）上正弦函数不是单调函数，可分两类证明，当A是钝角时，与A不是钝角时，易证，再由充分条件必要条件的定义得出正确选项即可
【解析】
1°由题意，在△ABC中，“A＞B”，由于A+B＜π，必有B＜π-A
若A，B都是锐角，显然有“sinA＞sinB”成立，
若A，B之一为锐角，必是B为锐角，此时有π-A不是钝角，由于A+B＜π，必有B＜π-A≤，此时有sin（π-A）=sinA＞sinB
综上，△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充分条件
2°研究sinA＞sinB，若A不是锐角，显然可得出A＞B，若A是锐角，亦可得出A＞B，
综上在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的必要条件
综合1°，2°知，在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要条件，
故选A