Question

已知二次函数f（x）=x²+2bx+c（b，c∈R），且f（1）=0．
（1）若函数f（x）与x轴的两个交点A（x₁，0），B（x₂，0）之间的距离为2，求b的值；
（2）若关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内，求b的取值范围．

Answer

（1）利用二次函数与x轴的交点坐标与二次方程的根之间的关系，建立x1，x2与其系数之间的关系是解决本题的关键；根据两交点之间的距离为2，列出关于字母b的方程完成求解；
（2）根据方程的根与函数零点之间的关系，列出函数在相应区间的端点值的正负的不等式组，通过求解不等式组得出b的取值范围．
【解析】
（1）由题可知，x1=1，x2=c，x1+x2=-2b
又|x1-x2|=|1-c|=2⇒x2=c=-1或3⇒b=0或-2．
（2）令g（x）=f（x）+x+b=x2+（2b+1）x+b+c=x2+（2b+1）x-b-1
由题意，得到，
故b的取值范围为．