Question

已知：函数f（x）是R上的单调函数，且f（3）=log₂3，对于任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f（x）满足对任意实数x，f+f（3^x-9^x-2）＜0恒成立，求k的范围．

Answer

（1）由f（x+y）=f（x）+f（y）可令x=y=0 有f （0 ）=0，令y=-x 有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）即证
（2）由f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0恒成立，且f （ x ）是奇函数，则f（k•3x）＜f（-3x+9x+2）恒成立，f （ x ）是R上的单调函数可得是增函数，于是可得恒成立，利用基本不等式可求的最小值可求k的范围
（1）证明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）∴令x=y=0 有f （0 ）=0
令y=-x  有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）即证f （ x ）是奇函数．
（2）因为 对任意实数x，f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0恒成立，且f （ x ）是奇函数f（k•3x）＜f（-3x+9x+2）恒成立 又R上的单调函数f （ x ）满足f（3）=log23＞0
而f （0 ）=0   从而有：f （ x ）是R上的单调增函数
于是：k•3x＜-3x+9x+2
∴恒成立，而
∴