Question

已知平面内的动点P到点F（1，0）的距离比到直线x=-2的距离小1．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若A、B为轨迹C上的两点，已知FA⊥FB，且△FAB的面积S_△FAB=4，求直线AB的方程．

Answer

（1）设动点P的坐标为（x，y），根据动点P到点F（1，0）的距离比到直线x=-2的距离小1．代入两点之间距离公式，及点到直线的距离公式，化简即可得到点P的轨迹C的方程；
（2）设直线AB的方程为x=ty+m，结合FA⊥FB，且△FAB的面积S△FAB=4，我们可以构造出关于m的方程，解方程求出m值，即可求出满足条件的直线AB的方程．
（1）设点P（x，y），根据题意得

当
两边平方化简得y2=4x
当x＜-2时，则
又由
得x≥-1与x＜-2矛盾
故点P的轨迹C的方程为y2=4x．
（2）设直线AB的方程为x=ty+m
由得y2-4ty-4m=0
由△=16t2+16m＞0得t2+m＞0
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则y1+y2=4t，y1y2=-4m
=（x1-1，y1），=（x2-1，y2）
由•=0，得x1•x2-（x1+x2）+1+y1•y2=0
又由x1=t•y1+m，x2=t•y2+m，得4t2=m2-6m+1
S△ABF=|m-1|×4=|m-1|=|m-1|=（m-1）2，
由（m-1）2=4，解得m=-1，或m=3
将m=-1代入4t2=m2-6m+1得t2=2，
将m=3代入4t2=m2-6m+1得4t2=9-18+1=-8＜O不成立，
∴m=3不合是题意舍去
∴所求直线AB的方程为x±y+1=0