Question

如图，圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4．
（1）求弦BD的长；
（2）设点P是弧BCD上的一动点（不与B，D重合）分别以PB，PD为一边作正三角形PBE、正三角形PDF，求这两个正三角形面积和的取值范围．

Answer

（1）由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB•ADcos∠BAD=20-16cos∠BAD，在△CDB中 BD2=BC2+CD2-2BC•CDcos∠BCD=52-48cos∠BCD
结合cos∠BCD=-cos∠BAD 可求∠BAD，代入可求BD
（2）设∠PBD=θ，θ∈0，120°），由可表示三角形的面积之和
=，结合可求y得范围
【解析】
（1）由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB•ADcos∠BAD=20-16cos∠BAD
在△CDB中 BD2=BC2+CD2-2BC•CDcos∠BCD=52-48cos∠BCD
∴20-16cos∠BAD=52-48cos∠BCD
∵cos∠BCD=-cos∠BAD∴64cos∠BAD=-32，cos∠BAD=-，
∴∠BAD=120°
代入上式可得，
∴（6分）
（2）设∠PBD=θ，θ∈0，120°）
（8分）
=（10分）
∵
∴（12分）