Question

已知定义域为R的函数是奇函数
（1）求a值；
（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；
（4）设关于x的函数F（x）=f（4^x-b）+f（-2^x+1）有零点，求实数b的取值范围．

Answer

（1）根据奇函数当x=0时的函数值为0，列出方程求出a的值；
（2）先判断出单调性，再利用函数单调性的定义法进行证明，即取值-作差-变形-判断符号-下结论；
（3）利用函数的奇偶性将不等式转化为函数值比较大小，再由函数的单调性比较自变量的大小，列出不等式由二次函数恒成立进行求解；
（4）根据函数解析式和函数零点的定义列出方程，再利用整体思想求出b的范围．
【解析】
（1）由题设，需，∴a=1，
∴，
经验证，f（x） 为奇函数，∴a=1．
（2）减函数
证明：任取x1，x2∈R，x1＜x2，△x=x2-x1＞0，
f（x2）-f（x1）=-=，
∵x1＜x2 ∴0＜＜；
∴-＜0，（1+）（1+）＞0
∴f（x2）-f（x1）＜0
∴该函数在定义域R 上是减函数．
（3）由f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0 得f（t2-2t）＜-f（2t2-k），
∵f（x） 是奇函数，∴f（t2-2t）＜f（k-2t2），
由（2）知，f（x） 是减函数
∴原问题转化为t2-2t＞k-2t2，即3t2-2t-k＞0 对任意t∈R 恒成立，
∴△=4+12k＜0，得 即为所求．
（4）原函数零点的问题等价于方程f（4x-b）+f（-2x+1）=0
由（3）知，4x-b=2x+1，即方程b=4x-2x+1 有解
∴4x-2x+1=（2x）2-2×2x=（2x-1）2-1≥-1，∴当b∈[-1，+∞） 时函数存在零点．