Question

已知定义在区间（-1，1）上的函数为奇函数，且．
（1）求实数a，b的值；
（2）用定义证明：函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数；
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer

（1）利用函数为奇函数，且，可得，从而得到关于a、b的方程组，解之即可；
（2）利用单调性的定义即可证明；
（3）利用f（x）为奇函数，将不等式f（t-1）+f（t）＜0转化为f（t）＜-f（t-1）=f（1-t），再利用函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数得到关于t的不等式 组，解之即可．
【解析】
（1）∵为奇函数，且
∴，解得：a=1，b=0．
∴
（2）证明：在区间（-1，1）上任取x1，x2，令-1＜x1＜x2＜1，=
∵-1＜x1＜x2＜1
∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，（1+x12）＞0，（1+x22）＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
故函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（t-1）+f（t）＜0
∴f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）
∵函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数
∴
∴
故关于t的不等式的解集为．