Question

已知函数f（x）=．
（1）判断其奇偶性；
（2）指出该函数在区间（0，1）上的单调性并证明；
（3）利用（1）、（2）的结论，指出该函数在（-1，0）上的增减性．

Answer

（1）由已知易判断出函数的定义域为R，关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，即可根据函数奇偶性的定义，进行判断得到结论；
（2）任取x1、x2满足0＜x1＜x2＜1，并做出f（x1）-f（x2）的差，利用实数的性质，判断出f（x1）与f（x2）的大小，根据函数单调性的定义，即可得到答案；
（3）由（1）可得函数为奇函数，由（2）可得函数在（0，1）上为增函数，根据奇函数在对称区间上单调性相同，即可得到答案．
【解析】
（1）函数的定义域为R
∵
∴f（x）是奇函数；
（2）函数f（x）在（0，1）上是增函数
证明：任取x1、x2满足0＜x1＜x2＜1则
f（x1）-f（x2）==
∵0＜x1＜x2＜1，
∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1，
∴f（x1）＜f（x2）
因此函数f（x）在（0，1）上是递增函数；
（3）由于f（x）是R上的奇函数，在（0，1）上又是递增函数，
因而该函数在（-1，0）上也是增函数．