Question

已知：集合M={f（x）|∃x∈D，使f（x+1）=f（x）+f（1）．其中集合D是f（x）的定义域}．
问：（1）函数是否属于集合M？说明理由．
（2）函数f₂=2^x+x²是否属于集合M？说明理由．
（3）若函数，试给出一个满足要求的实数a的值．

Answer

（1）f1（x）∉M，不妨令f1（x）∈M，则存在x，使，解此方程，若方程有解，则说明假设成立f1（x）∈M，否则说明不成立；
（2）f2（x）∈M．不妨令g（x）=f2（x+1）-f2（x）-f2（1），代入解析式进行判断，若此函数有零点，则说明函数f2=2x+x2属于集合M，否则说明它不属于集合M；
（3）函数，则存在x，使得=，由于本题要求出一个满足要求的实数a的值，可从此方程中将a表示为x的函数，得到a=，利用导数解出此函数的最值，即可得出函数的值域，即a可以存在的范围，从中任意找出一个值即可．
【解析】
（1）由题意，f1（x）∉M．
假若f1（x）∈M，则存在x，使，
得x2+x+1=0．此方程无解，
故f1（x）∉M．
（2）由题意f2（x）∈M．
令g（x）=f2（x+1）-f2（x）-f2（1）=2x+1+（x+1）2-2x-x2-2-1=2（2x-1+x-1），
由于g（0）=-1，g（1）=2，
故函数f2（x）在（0，1）上至少有一个零点，
设为x，它满足f2（x+1）=f2（x）+f2（1），
所以f2（x）∈M．
（3）由于，
得存在x，使得=，即=，
所以a=，
令g（x）=，
g′（x）==0，得x=，
结合如图的图象，函数g（x）在（-∞，）上单调增，在（）上单调减，在（）上单调增，且x＜-1时g（x）＞2，x＞2时g（x）＜2，
所以g（x）的值域为[3-，3+]，
于是a∈[3-，3+]．
可取a=3