Question

定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意的实数x，y都有f（x^y）=yf（x）
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）若，求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）若，解不等式f（|3x-2|-2x）＜0．

Answer

（I）由已知中函数f（x）满足对任意的实数x，y都有f（xy）=yf（x），令令x=1，y=2，可知f（1）=2f（1），进而得到f（1）的值；
（Ⅱ）设0＜x1＜x2，根据函数f（x）满足对任意的实数x，y都有f（xy）=yf（x）及，可以判断出f（x1）-f（x2）＜0，进而根据增函数的定义得到f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）由（I）（II）中的结论，可将不等式f（|3x-2|-2x）＜0化为0＜|3x-2|-2x＜1，解绝对值不等式即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）令x=1，y=2，可知f（1）=2f（1），故f（1）=0…（4分）
证明：（Ⅱ）设0＜x1＜x2，∴存在s，t使得x1=（）s，x2=（）t，且s＞t．又f（）＜0
∴f（x1）-f（x2）=f[（）s]-f[（）t]=sf（）-tf（）=（s-t）f（）＜0
∴f（x1）＜f（x2）．
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（9分）
【解析】
（Ⅲ）由（Ⅰ）得f（|3x-2|-2x）＜0   即：f（|3x-2|-2x）＜f（1）
由（Ⅱ）可知0＜|3x-2|-2x＜1
解得：＜x＜或2＜x＜3…（14分）