Question

已知动圆过定点F₁（-3，0），且与圆O：（x-3）²+y²=100相内切，
（1）求动圆的圆心的轨迹曲线C．
（2）若P是C上的一点，F₂为圆O的圆心且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积．

Answer

（1）设切点为N，动圆与圆O内切，则F2，M，N三点共线，且|MF1|=|MN|，所以M到定点F1，F2的距离之和为定值10＞|F1F2|=6，由此能求出M的轨迹方程．
（2）设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则r1+r2=2a=10⇒r12+2r1r2+r2=100．在△PF1F2中，由勾股定理得r12+r23-r1r2=4c2=36，由此能求出△F1PF2的面积．
【解析】
（1）设切点为N，动圆与圆O内切，
则F2，M，N三点共线，且|MF1|=|MN|
∴|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MF2|=|NF2|
即M到定点F1，F2的距离之和为定值10＞|F1F2|=6
故M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆
易知c=3，a=5，b=4
M的轨迹方程是．
（2）设|PF1|=r1，|PF2|=r2，
则r1+r2=2a=10⇒r12+2r1r2+r2=100（1）
又在△PF1F2中，由勾股定理得r12+r22-r1r2=4c2=36（2）
（1）-（2）得
∴