Question

已知函数f（x）的定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞），且对于任意x₁，x₂∈D，均有f=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0；
（1）求f（1）与f（-1）的值；             
（2）判断函数的奇偶性并证明；
（3）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（4）若f（4）=1，解不等式f（3x+1）≤2．

Answer

（1）令x1=x2=1，代入f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）可得f（1）=0；再令x1=x2=-1，代入题中的条件可得f（-1）=0．
（2）令x1=x，x2=-1，并且结合（1）中的结论可得答案．
（3）设x1，x2∈（0，+∞），并且x1＜x2，结合题中条件可得：f（）＞0，再由f（x2）=可得答案．
（4）由题意可得：f（16）=2，则有：f（3x+1）≤f（16），再根据函数为偶函数可得：f（|3x+1|）≤f（16），
进而结合函数的单调性可得答案．
【解析】
（1）令x1=x2=1，代入f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）可得f（1）=0；
令x1=x2=-1，则有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）-f（1）=0，解得：f（-1）=0．
（2）令x1=x，x2=-1，则有f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），即f（-x）=f（x），
所以函数f（x）是偶函数．
（3）设x1，x2∈（0，+∞），并且x1＜x2，则有，f（）＞0，
所以f（x2）==，
所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（4）由题意可得：f（16）=f（4×4）=2f（4）=2，
所以由f（3x+1）≤2可得：f（3x+1）≤f（16），
因为函数f（x）为偶函数，
所以有f（-x）=f（x）=f（|x|），即f（|3x+1|）≤f（16），
又因为函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以|3x+1|≤16，并且3x+1≠0，
解得：．