Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，点P（1，f（1））在函数y=f（x）的图象上，过P点的切线方程为y=3x+1
（1）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求实数b的取值范围．

Answer

（1）由于函数f（x）=x3+ax2+bx+c在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，所以f（1）=4，f′（1）=3，又因为y=f（x）在x=-2时有极值，所以f′（-2）=0，列三个方程解之即可
（2）由于函数f（x）=x3+ax2+bx+c在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，所以 f′（1）=3，所以2a=-b，欲使函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，只需f′（x）=3x2-bx+b≥0在区间[-2，1]上恒成立，转化为b≥在区间[-2，1]上恒成立，利用函数性质求此函数的最大值即可
【解析】
（1）∵f′（x）=3x2+2ax+b
依题意
即
解得a=2，b=-4，c=5
∴f（x）=x3+2x2-4x+5
（2）∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，
∴f′（1）=3，∴2a=-b
∴f′（x）=3x2-bx+b
依题意欲使函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，只需f′（x）=3x2-bx+b≥0在区间[-2，1]上恒成立
即b≥在区间[-2，1]上恒成立
∵≤0
∴b≥0时，函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增