Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F也是抛物线y²=4x的焦点．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l与C相交于A、B两点，若=2，求直线l的方程．

Answer

（1）根据抛物线的方程与焦点坐标的关系求出椭圆的右焦点F，得到椭圆的参数c的值，利用椭圆的离心率公式求出椭圆中的参数a，根据椭圆中的三个参数的关系求出b，代入椭圆的方程，求出椭圆方程．
（2）先检验直线的斜率非零，设出两个交点A，B的坐标，由已知的向量关系得到两个交点坐标间的关系，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，据韦达定理得到两个交点坐标的关系，联立几个关于坐标的等式，求出m的值即得到直线的方程．
【解析】
（1）根据F（1，0），即c=1，
据得，
故，
所以所求的椭圆方程是．
（2）当直线l的斜率为0时，检验知．
设A（x1，y1）B（x2，y2），
根据得（1-x1，-y1）=2（x2-1，y2）得y1=-2y2．
设直线l：x=my+1，代入椭圆方程得（2m2+3）y2+4my-4=0，
故，
得，
代入得
，即，
解得，
故直线l的方程是．