Question

已知f（x）=abx-log₃（3^x+1）为偶函数，g（x）=2^x+为奇函数，其中a，b为复数，则（a^k+b^k）=    ．

Answer

由奇偶函数的定义列出关于a、b的方程组，求出它们的和与积的值，在转化为对应一元二次方程的根，进而求出复数a和b，再利用和与积的值和a3=b3=1求出a2+b2，a3+b3，a4+b4等，找出具有周期性且T为3，再利用周期性求出式子的和．
【解析】
∵f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，
∴，
即，
解得；
∴复数a、b是方程x2+x+1=0的两个根，
解得，a=-+i，b=--i；∴a3=b3=1
已知a+b=-1，ab=1；则a2+b2=（a+b）2-2ab=-1，a3+b3=2，
同理可求a4+b4=-1，a5+b5=-1，a6+b6=2，…，归纳出有周期性且T=3，
∴（ak+bk）=[（a+b）+（a2+b2）+（a3+b3）]=0．
故答案为：0．