Question

已知f（x）=log₂（x+1），当点（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动时，点在函数y=g（x）的图象上运动．
（1）求函数y=g（x）的解析式．
（2）求使g（x）＞f（x）的x的取值范围．
（3）在（2）的范围内，求y=g（x）-f（x）的最大值．

Answer

（1）令 =m，=n，由题设条件知，再由（m，n）是函数y=g（x）的图象上的点，即可得到函数y=g（x）的解析式．
（2）由题意知．由对数函数的性质可得，解不等式组即可得到使g（x）＞f（x）的x的取值范围．
（3）由题疫条件知．由此可知结合基本不等式即可求出g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值．
【解析】
（1）令（a，b）点是函数y=g（x）的图象上的动点
则a=，b=，则x=3a，y=2b，
∵点（x，y）在函数y=f（x）的图象上
∴（x，y）满足函数f（x）=log2（x+1），
即2b=log2（3a+1），
即b=log2，
故函数y=g（x）=log2（x＞），
（2）若g（x）＞f（x）
即log2（x+1）＜log2
即（x+1）2＜3x+1
解得0＜x＜1
（3）∵（Ⅲ）因为0≤x≤1，
所以．
当且仅当3x+1=2时，即 x=时等号成立，
故g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值为