Question

已知a为实数，函数f（x）=．
（1）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；
（2）若f'（-1）=0，对任意x₁，x₂∈[-1，0]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，求m的最小值．

Answer

（1）先求出函数的导数，因为函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，所以导数等于0有实数解，利用判别式△＞0，即可求出a的范围．
（2）根据f'（-1）=0解出a的值，得到函数f（x）的解析式，因为对任意x1，x2∈[-1，0]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立，所以对任意x1，x2∈[-1，0]，m大于等于|f（x1）-f（x2）|的最大值，再用导数求出x∈[-1，0]时，f（x）的最大值和最小值，而|f（x1）-f（x2）|≤f（x）max-f（x）min，就可求出m的范围．
【解析】
（1）∵∴．
由题意知f'（x）=0有实数解．∴△=
∴，即或．故．
（2）∵f'（-1）=0∴即.，
令f'（x）=0得．
当x∈[-1，0]时，
∴．
故x1，x2∈[-1，0]时，
所以，即m的最小值为．