Question

已知{a_n}是等差数列，公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比数列，S_n是{a_n}的前n项和．
（1）求证：S₁，S₃，S₉成等比数列；
（2）设数列．是否存在正整数m，使得n＞m时，b_n＞1.99恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据{an}是等差数列，公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，可得d=2a1（d≠0⇒a1≠0），进而可证S1，S3，S9成等比数列；
（2）根据（1）可表示出数列． 利用，bn＞1.99可知对于正整数m≥100时，均满足题目条件，从而可解．
证明：（1）由已知得，（a1+2d）2=a1（a1+12d）⇒d=2a1（d≠0⇒a1≠0），
由此，S1=a1，S3=9a1，S9=81a1⇒S32=S1•S9，命题得证．
（2）∵．
假设存在正整数m满足条件，即使得当n＞m时，，解得n＞100．∴对于正整数m≥100时，均满足题目条件，故m的最小值为100．