Question

已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，|BF|=1，过F作直线交此双曲线的右支于P、Q两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若，求△PBQ的面积S．

Answer

（1）根据双曲线方程的标准方程：，结合题意可得关于a、b、c的方程组，解可得答案；
（2）分两种情况讨论：第一种情况：若直线PQ的斜率不存在，不合题意；第二种情况：若直线PQ的斜率存在，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为y=k（x-2），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积公式即可求得k值，从而解决问题．
【解析】
（1）由题意得：
解得：
∴双曲线方程为--------------------------------------------------------（4分）
（2）第一种情况：若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x=2P（2，3）、Q（2，-3），
，不合题意；--------------------------------（6分）
第二种情况：若直线PQ的斜率存在，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
直线PQ的方程为y=k（x-2），代入双曲线方程可得：（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0（*） 
且判别式△=36k2+36＞0--（7分）
由于P、Q都在双曲线的右支上，所以3-k2≠0，且，解得k3＞3-----------（8分）
所以
而，由于，所以x1x2+y1y2=-17
所以，得k2=4＞3
此时x1+x2=16，x1x2=19，y1y2=-36，y1+y2=k（x1+x2-4）=12k
所以=
即△PBQ的面积是-----------（11分）