Question

对于数列{a_n}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N^*，都有：a_n+T=a_n成立，则称数列{a_n}是以T为周期的周期数列．
（1）记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，若{a_n}满足a_n+2=a_n+1-a_n，且S₂=1007，S₃=2010，求证：数列{a_n}是以6为周期的周期数列，并求S₂₀₀₉；
（2）若{a_n}满足，且a_n+1=-2a_n²+2a_n，试判断{a_n}是否为周期数列，且说明理由；
（3）由（1）得数列{a_n}，又设数列{b_n}，其中，问是否存在最小的自然数n（n∈N^*），使得对一切自然数m≥n，都有b_m＞2009？请说明理由．

Answer

（1）an+6=an+5-an-4=an+4-an+3-an-4=-an+3=-an+2+an+1=-（an+1-an）+an+1=an，得T=6，由此能求出 S2009=S5=a3=1003．
（2）当p=0时，a1=a2=0，an+1=-2an2+2an=0，即{an}是周期数列，由此能推导出数列{an}是递增数列，非周期数列．
（3）由S2=a1+a2=a1+1005=1007，知a1=2，a2=1005，a3=1003，a4=-2，a5=-1005，a6=-1003，且数列{an}是周期为6的周期数列，由此能推导出存在最小的自然数n=1506，对一切自然数m，当m≥n=1506，都有bm＞2009．
【解析】
（1）an+6=an+5-an-4=an+4-an+3-an-4
=-an+3=-an+2+an+1=-（an+1-an）+an+1=an，
得T=6
所以，数列{an}是以6为周期的周期数列，
周期为任意正整数--（2分）
又由 ，
得a1=2，a2=1005，a3=1003，a4=-2，a5=-1005，a6=-1003S6=0，
且数列{an}是以6为周期的周期数列，
所以，S6n=0，
所以 S2009=S5=a3=1003--（3分）
（2）当p=0时，a1=a2=0，an+1=-2an2+2an=0，
即{an}是周期数列--（5分）
当p≠0，时，

由已知，
且an+1=-2an2+2an，
可得，
依此类推可得（n∈N*）
所以 an+1-an=-2an2+an=an（1-2an）＞0，所以an+1＞an
即数列{an}是递增数列，非周期数列；--（8分）
（3）由（1）知，S2=a1+a2=a1+1005=1007，
所以a1=2，a2=1005，a3=1003，a4=-2，a5=-1005，a6=-1003，
且数列{an}是周期为6的周期数列，
所以（an）max=1005（n∈N*），（an）min=-1005，
且 a6n+1=2，a6n+2=1003，a6n+3=1005，a6n+4=-2，
a6n+5=-1005，a6n+6=-1003，--（9分）
而当n≥12时，，
，
即2n≥2009+1005=3014，
得n≥1507，即 n≥1507时，
都有bn＞2009；--（12分）
又--（13分）
综上，存在最小的自然数n=1506，
对一切自然数m，当m≥n=1506，
都有bm＞2009．--（14分）