Question

（1）一个矩形的面积为8，如果此矩形的对角线长为y，一边长为x，试把y表示成x的函数．
（2）证明：函数f（x）=x²+1是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数．

Answer

（1）如图，先求出另一边，再用勾股定理建立等式，表示出y．
（2）用定义证明即可．由函数的解析知，可通过验证（-x）=f（x）证明函数是偶函数；用增函数的定义证明函数在在[0，+∞）上是增函数．
【解析】
（1）如图，
则：
（x＞0）
（2）证明：∵f（-x）=（-x）2+1=x2+1=f（x），∴函数f（x）=x2+1是偶函数，
作取x1，x2∈[0，+∞），令x1＜x2
f（x1）-f（x2）=x12-x22=（x1-x2）（x1+x2）
∵x1，x2∈[0，+∞），令x1＜x2
∴x1-x2
∴f（x1）-f（x2）=x12-x22=（x1-x2）（x1+x2）＜0
故函数在[0，+∞）上是增函数．
综上，函数f（x）=x2+1是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数．