Question

若函数f（x）=log_ax（其中a＞0且a≠1）在x∈[2，+∞）上总有|f（x）|＞1成立，求a的取值范围．

Answer

由在x∈[2，+∞）上总有|f（x）|＞1⇔|logax|＞1，要去掉绝对值，需要考虑a的范围分类讨论（1）若a＞1，x≥2时，logax＞0，即logax＞1恒成立．
（2）若0＜a＜1，x≥2时logax＜0，．即logax＜-1恒成立，从而可求a的范围
【解析】
（1）若a＞1，x≥2时，logax＞0，
由|f（x）|＞1得f（x）＞1，即logax＞1恒成立．
∴x＞a恒成立，∴1＜a＜2．
（2）若0＜a＜1，x≥2时logax＜0，
由|f（x）|＞1得f（x）＜-1．即logax＜-1恒成立，也即x＞恒成立，
∴＜2．∴＜a＜1，
综上，a的取值范围为（，1）∪（1，2）．