Question

设函数f（x）=x²+2x-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当时，是否存在整数m，使不等式m＜f（x）≤-m²+2m+e²恒成立？若存在，求整数m的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）关于x的方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先求出函数的定义域，再求出其导函数，令导函数大于0得到增区间，小于0得到减区间，考虑自变量取值最后得到单调区间即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出函数的最值，不等式m＜f（x）≤-m2+2m+e2恒成立意思是f（x）max≤-m2+2m+e2，f（x）min≥m，求出解集得到m的整数解即可；（Ⅲ）在[0，2]，由f（x）=x2+x+a和条件f（x）=x2+2x-2ln（1+x）相等得到x2+x+a=x2+2x-2ln（1+x）即x-a-2ln（1+x）=0，然后令g（x）=x-a-2ln（1+x），求出其导函数，由g′（x）＞0得1＜x≤2；由g′（x）＜0得0≤x＜1．g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增．得到g（0）和g（2）都大于等于0，g（1）小于零，列出不等式组，求出解集即可a的范围．
解析：（Ⅰ）由1+x＞0得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
．
由f′（x）＞0得x＞0；由f′（x）＜0得-1＜x＜0，
∴函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；递减区间是（-1，0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上递减，在[0，e-1]上递增．
∴f（x）min=f（0）=0
又∵，f（e-1）=e2-3，且，
∴时，f（x）max=e2-3．
∵不等式m＜f（x）≤-m2+2m+e2恒成立，
∴，
即
∵m是整数，∴m=-1．
∴存在整数m，使不等式m＜f（x）≤-m2+2m+e2恒成立．
（Ⅲ）由f（x）=x2+x+a得x-a-2ln（1+x）=0，x∈[0，2]
令g（x）=x-a-2ln（1+x），则，x∈[0，2]
由g′（x）＞0得1＜x≤2；由g′（x）＜0得0≤x＜1．
∴g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增．
∵方程f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰有两个相异的实根，
∴函数g（x）在[0，1）和（1，2]上各有一个零点，
∴，
∴实数a的取值范围是1-2ln2＜a≤2-2ln3