Question

已知函数f（x）=e^x，，a∈R．
（1）设函数F（x）=f（x）-g（x），讨论F（x）的极值点的个数；
（2）若-2≤a≤1，求证：对任意的x₁，x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂时，都有．

Answer

（1）利用导数判断，先求函数F（x）的导数，令导数等于0，得到极值点，再判断极值点两侧导数的正负，若左正右负为极大值，若左负右正为极小值，极值点的个数为极大值的个数加极小值的个数．
（2）欲证，用分析法，只需寻找成立的充分条件即可，最终找到只需证明在x∈[1，2]上恒成立，再把看成关于a的一次函数，当a∈[-2，1]时，两个端点函数值都大于0，所以当-2≤a≤1时，恒成立，原命题成立
【解析】
（1），F'（x）=ex-a-x，F''（x）=ex-1，令F''（x）=0，得x=0
当x∈（-∞，0）时，F''（x）＜0，从而F′（x）在（0，+∞）上单调递减，
当x∈（0，+∞）时，F''（x）＞0，从而F′（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以F′（x）min=F′（0）=1-a，
当F′（x）min=1-a≥0，即a≤1时，F′（x）≥0恒成立，F（x）的极值点个数为0；
当F′（x）min=1-a＜0，即a＞1时，（又x→-∞，F′（x）→+∞，x→+∞，F′（x）→+∞）F（x）的极值点个数为2个
（2）证明：⇔⇔⇔在[1，2]上单调递增⇔在x∈[1，2]上恒成立
令，关于a是一次函数．
又H（-2）=2-x≥0，H（1）=ex-1-x≥0，（由F'（x）=ex-a-x≥1-a得）
所以在x∈[1，2]上恒成立，所以，原命题成立．