Question

已知一个长方体交于一顶点的三条棱长之和为1，其表面积为
（1）将长方体的体积V表示为其中一条棱长x的函数关系，并写出定义域；
（2）求体积的最大、最小值；
（3）求体积最大时三棱长度．

Answer

（1）根据一个长方体交于一顶点的三条棱长之和为1，其表面积为，设三条棱长分别为：x，y，z，则x+y+z=1，，从而可得函数解析式，由此可确定函数的定义域；
（2）求导函数，求极值点，从而可确定函数的最值；
（3）由第（2）条件最大时x的值，结合x+y+z=1，，可求三棱长度．
【解析】
（1）设三条棱长分别为：x，y，z，则x+y+z=1，…（1分）
得，
∴V==…（4分）
又∵y+z=1-x，，
∴y、z是方程的两根得≤x≤
∴V=（ ≤x≤）．…（6分）
（2），得或…（8分）
当或时，V有最小值，
当或时，V有最大值．…（10分）
（3）当V有最大值时，三棱长分别为：．  …（12分）