Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，且AD=1，BD=2，△ACD绕CD旋转至A′CD，使A′B=．
（1）求证：BA′⊥面A′CD；
（2）求异面直线A′C与BD所成角的余弦值．
（3）（理科做）求二面角A′-CD-B的大小．

Answer

（1）要证BA′⊥面A′CD． 只需证明A′D⊥A′B，CD⊥A′B，由题意可证，故可得结论；
（2）利用平行线，可得∠CA′E为所求角，利用余弦定理可求；
（3）利用A′D⊥CD，且BD⊥CD，可知∠A′DB是所求二面角的平面角，从而可求．
证明：且BD∩AD=D，
∴CD⊥面A′BD，CD⊥A′B，
又∵A′D2+A′B2=BD2，∴A′D⊥A′B，且CD∩A′D=D，
∴BA′⊥面A′CD．
则∠CA′E为所求角，
（3）∵A′D⊥CD，且BD⊥CD，
∴∠A′DB是所求二面角的平面角，
由题易知∠A′DB=60°