Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并加以证明；
（3）判断函数f（x）在定义域上的单调性并加以证明．

Answer

（1）求函数f（x）的定义域，可令，解出此不等式的解集即可得到所求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，要用定义法，由函数解析式研究f（-x）与f（x）的关系，即可证明出函数的性质；
（3）此函数是一个减函数，由定义法证明要先任取x1，x2∈（-1，1）且x1＜x2，再两函数值作差，判断差的符号，再由定义得出结论．
【解析】
（1）由题意令，解得-1＜x＜1，所以函数的定义域是（-1，1）
（2）此函数是一个奇函数，证明如下
由（1）知函数的定义域关于原点对称，且=-，故函数是奇函数；
（3）此函数在定义域上是减函数，证明如下：
任取x1，x2∈（-1，1）且x1＜x2，
由于x1，x2∈（-1，1）且x1＜x2，∴1-x1＞1-x2＞0，1+x2＞1+x1＞0，可得，
所以
即有f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
故函数在定义域是减函数