Question

对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．计算：[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]的值=    ．

Answer

根据符号[x]的定义，逐项求出值，注意值的部分相等性，再借助于数列求和运算得出结果．
【解析】
当[log2x]=n，n∈N时，2n≤x＜2 n+1，若x是正整数，则x共有2n项∴原式=0+（1+1）+（2+2+2+2）+（3+3+3+3+3+3+3+3）+…+（9+9+…9）+10
=0+2×1+22×2+23×3+24×4+…29×9+10．令S=2×1+22×2+23×3+24×4+…29×9①则2S=22×1+23×2+24×3+24×4+…29×8+210×9②
①-②得-S=21+22+23+24+…+29-210×9=-2（1-29）-210×9=-8194．
∴原式8194+10=8204
故答案为：8204．