Question

已知动点P与双曲线x²-y²=1的两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值，且cos∠F₁PF₂的最小值为-．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设M（0，-1），若斜率为k（k≠0）的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，若要使|MA|=|MB|，试求k的取值范围．

Answer

（1）根据椭圆定义可知，所求动点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，再结合余弦定理求出椭圆中的a，b的值即可．
（2）设出A，B点的坐标，以及直线AB的方程，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用斜率公式及根的判别式即可求得k的取值范围，从而解决问题．
【解析】
（1）∵x2-y2=1，∴c=．设|PF1|+|PF2|=2a（常数a＞0），2a＞2c=2，∴a＞
由余弦定理有cos∠F1PF2===-1
∵|PF1||PF2|≤（）2=a2，∴当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1||PF2|取得最大值a2．
此时cos∠F1PF2取得最小值-1，由题意-1=-，解得a2=3，∴b2=a2-c2=3-2=1
①②
∴P点的轨迹方程为+y2=1．
（2）设l：y=kx+m（k≠0），则由，将②代入①得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2-1）=0  （*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB中点Q（x，y）的坐标满足：x=
即Q（-）∵|MA|=|MB|，∴M在AB的中垂线上，
∴klkAB=k•=-1，解得m= …③又由于（*）式有两个实数根，知△＞0，
即 （6km）2-4（1+3k2）[3（m2-1）]=12（1+3k2-m2）＞0  ④，将③代入④得
12[1+3k2-（）2]＞0，解得-1＜k＜1，由k≠0，∴k的取值范围是k∈（-1，0）∪（0，1）．