Question

设椭圆=1的两焦点为F₁、F₂，长轴两端点为A₁、A₂．
（1）P是椭圆上一点，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积；
（2）若椭圆上存在一点Q，使∠A₁QA₂=120°，求椭圆离心率e的取值范围．

Answer

（1）先根据椭圆的方程求得c，进而求得|F1F2|，设出|PF1|=t1，|PF2|=t2，利用余弦定理可求得t1t2的值，最后利用三角形面积公式求解．
（2）由对称性不妨设Q在x轴上方，坐标为（x，y），进而可表示出tanA1QA2整理出关于x和y的关系式，同时把Q点代入椭圆方程，表示出y进而根据y的范围确定a和c的不等式关系，求得离心率的范围．
【解析】
（1）∵|F1F2|=2c．
设|PF1|=t1，|PF2|=t2，
则根据椭圆的定义可得：t1+t2=2a①，
在△F1PF2中∠F1PF2=60°，
所以根据余弦定理可得：t12+t22-2t1t2•cos60°=4c2②，
由①2-②得t1•t2=（4a2-4c2），
所以：．
所以△F1PF2的面积．
（2）由对称性不防设Q在x轴上方，坐标为（x，y），
则tanA1QA2==-，即
整理得 =-，①
∵Q在椭圆上，
∴，代入①得y=，
∵0＜y≤b
∴0＜≤b，化简整理得3e4+4e2-4≥0，
解得 ≤e＜1．