Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，准线方程为，渐近线为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若A、B分别为双曲线的左、右顶点，双曲线的弦PQ垂直于x轴，求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程．

Answer

（1）根据双曲线的准线方程及渐近线方程公式得到方程组求出a，b的值，即得到双曲线的方程．
（2）设出点P，Q，M的坐标，利用点斜式写出直线PA，QB的方程，联立两直线的方程求出交点坐标与点P坐标的关系，代入双曲线的方程求出交点的轨迹方程．
【解析】
（1）设双曲线的方程为，
因为准线方程为，渐近线为．
所以
解得a=1，b=，
所以双曲线方程为
（2）设点P（x，y），Q（x，-y），M（x，y），又知A（-1，0），B（1，0），
则可得到直线的方程PA：；
QB：
由得代入方程
得，
又由|x|＞1得-1＜x＜1且x≠0得到xy≠0
所以直线AP与BQ的交点M的轨迹方程为，（-1＜x＜1且xy≠0）