Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），当x∈[-1，1]时，|f（x）|≤1．
（1）求证：|b|≤1；
（2）若f（0）=-1，f（1）=1，求f（x）的表达式．

Answer

（1）由已知得|f（-1）|=|a-b+c|≤1，|f（1）|=|a+b+c|≤1，而|2b|=|f（1）-f（-1）|≤|f（1）|+|f（-1）|≤2可证
（2）由f（0）=-1，f（1）=1，及|f（x）|≤1对x∈[-1，1]时成立可得，函数 的对称轴x=且|f（-）|≤1，结合已知f（0）=-1，f（1）=1可求a，b，c
证明：（1）由已知得|f（-1）|=|a-b+c|≤1，|f（1）|=|a+b+c|≤1
∴|2b|=|f（1）-f（-1）|≤|f（1）|+|f（-1）|≤2
∴|b|≤1
（2）若，则f（x）在[-1，1]为增函数，
∴f（-1）＜f（0），f（0）=-1
∴|f（-1）|＞1与|f（-1）|≤1矛盾；
若，则f（x）在[-1，1]为减函数，
∴f（1）＜f（0）与已知矛盾．
所以，从而由解得
∴f（x）=2x2-1