Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-．
（1）求当x＜0时f（x）的解析式；
（2）试确定函数f（x）（x≥0）的单调区间，并证明你的结论；
（3）若x₁≥2，x₂≥2且x₁≠x₂，证明：|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

Answer

（1）直接设x＜0，则-x＞0，再利用f（x）=f（-x）即可得x＜0时f（x）的解析式；
（2）先求出其导函数，再利用导函数值的正负和原函数单调性之间的关系即可求出函数f（x）（x≥0）的单调区间；
（3）利用（2）的结论得当x≥2时，有0＞f（x）≥f（2）=-2；所以有当x1，x2≥2时，得-2＜f（x1）＜0且-2＜f（x2）＜0，即0＜-f（x2）＜2，整理后即可得出结论．
【解析】
（1）若x＜0，则-x＞0，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x）=（x＜0）（3分）
（2）当x≥0时，f'（x）=．（6分）
显然当0＜x＜1时，f'（x）＜0；
当x＞1时，f'（x）＞0，又f（x）在x=0和x=1处连续，
∴函数f（x）在[0，1]上为减函数，在[1，+∞）上为增函数．（8分）
（3）证明：∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，且f（x）＜0，
∴当x≥2时，有0＞f（x）≥f（2）=-2．（10分）
又当x1，x2≥2时，得-2＜f（x1）＜0且-2＜f（x2）＜0，即0＜-f（x2）＜2
∴-2＜f（x1）-f（x2）＜2即得：|f（x1）-f（x2）|＜2．（12分）