Question

已知等差数列{a_n}的第二项为8，前10项之和为185，从{a_n}中依次取出第2项，第4项，第8项，┅，第2ⁿ项，┅，按原来的顺序排成一个新的数列{b_n}．
（1）求数列{b_n}的前n项的和S_n；
（2）设T_n=n（9+a_n），试比较S_n和T_n的大小，并证明你的结论．

Answer

（1）由已知可得，解方程可求d，a1，进而可求通项an=n+2，代入可得=3•2n+2，利用分组求和及等比数列的求和公式可求Sn
（2）Tn=n（9+an）由=n（3n+11）当n=1时，S1=8T1=14，S1＜T1，n=2，S2=22＜T2=34，当n=3，S3=48＜T3=60，当n=4，S4=98＞T4=92，当n=5，S5=196＞T5=130，故猜想当1≤n≤3，Sn＜Tn；当n≥4，Sn＞Tn，用归纳法证明n≥4时，Sn＞Tn
【解析】
（1）由a2=8，S10=185可得
∴d=3，a1=5∴an=3n+2
∵=3•2n+2
∴Sn=3（21+22+…+2n）+2+2+…+2==3•2n+1+2n-6
（2）∵Tn=n（9+an）=n（3n+11）
当n=1时，S1=8T1=14，S1＜T1
当n=2，S2=22＜T2=34
当n=3，S3=48＜T3=60
当n=4，S4=98＞T4=92
当n=5，S5=196＞T5=130
随着n的增大，Sn，Tn都增加，但是Sn比Tn增加的速度快
故猜想当1≤n≤3，Sn＜Tn
当n≥4，Sn＞Tn
下面用归纳法证明n≥4时，Sn＞Tn
①当n=4时由上述可知命题成立
②假设当n=k（k≥4）时Sk＞Tk，即6•2k+2k-6＞3k2+11k
∴3.21+k＞k2+3k+2）×3
6•2k+1＞6k2+18k+12=3（k+1）2+11（k+1）+（3k2+3k-6）＞3（k+1）2+11（k+1）
当n=k+1时，命题成立，当n≥4时，都有Sn＞Tn
综上可得，当n≥4时，Sn＞Tn，当1≤n≤3时，Sn＜Tn