Question

已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线方程是．过点P（-4，0）作斜率为的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，点P在线段AB上，并且满足|PA|•|PB|=|PC|²，求双曲线G的方程．

Answer

先根据渐近线方程设出双曲线的方程为x2-4y2=λ，再求出直线l的方程代入双曲线方程，得x1+x2，x1x2，最后将|PA|•|PB|=|PC|2等价为（x1+4）•（x2+4）+y1y2=-17，列方程求出λ即可
【解析】
设所求双曲线方程为（x+2y）（x-2y）=λ，即x2-4y2=λ  （λ≠0）
∵直线l点P（-4，0）作斜率为，∴直线方程为y=x+1，
设A（x1，y1），B（x2，y2）C（0，1），∴=（x1+4，y1），=（x2+4，y2）
联立直线方程与双曲线方程，，3x2-8x-16-4λ=0
得，x1+x2=，x1x2=  ①
∵|PA|•|PB|=|PC|2，∴
即（x1+4）•（x2+4）+y1y2=-17
即（x1+4）•（x2+4）+（x1+1）•（x2+1）=-17
即x1x2+4（x1+x2）=-32   ②
将①代入②解得λ=28
故双曲线方程为x2-4y2=28