Question

设等比数列{a_n}满足：S_n=2ⁿ+a（n∈N₊）．
（I）求数列{a_n}的通项公式，并求最小的自然数n，使a_n＞2010；
（II）数列{b_n}的通项公式为b_n=-，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）a1=2+a，an=Sn-Sn-1=2n-1，{an}为等比数列，能导出其通项公式为an=2n-1．令2n-1＞2010，又n∈N+，由此能求出最小的自然数n=12．
（II），，再由错位相减法可求出Tn．
【解析】
（I）当n=1时，a1=2+a当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1（3分）
∵{an}为等比数列，
∴a1=2+a=21-1=1，
∴a=-1
∴{an}的通项公式为an=2n-1（5分）
令2n-1＞2010，又n∈N+，
∴n≥12．
∴最小的自然数n=12（7分）
（II），①（9分）②
②-①得，
∴（14分）