Question

如图，已知椭圆长轴端点A、B，弦EF与AB交于点D，O为中心，且||=1，=2，∠FDO=，试建立适当的坐标系解决以下问题：
（1）求椭圆的长轴长的取值范围；
（2）若D为椭圆的焦点，求椭圆的方程．

Answer

（1）建立如图平面直角坐标系，则D（-1，0）弦EF所在的直线方程为y=x+1，设椭圆方程，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用长轴的表示的函数式即可求得范围，从而解决问题．
（2）利用D为椭圆的焦点，则c=1，b2=a2-1结合（1）知：∴a2=9-a2  从而求出a，b的值，最后写出椭圆方程即可．
【解析】
（1）如图，建立平面直角坐标系，则D（-1，0）弦EF所在的直线方程为y=x+1
设椭圆方程设E（x1，y1），F（x2，y2），
由=2，知：y1+y2=-y1，且y1y2=-2y12 联立方程组，
消去x得：（a2+b2）y2-2b2y+b2-a2b2=0
由题意知：a＞1，∴△=4b4=4（a2+b2）（b2-a2b2）＞0
由韦达定理知：y1+y2==-y1，y1y2==-2y12，
消去y1得化简整理得：b2=∵0＜b2＜a2，∴0＜＜a2解得：
1＜a2＜5
∴2＜2a＜2  即：椭圆的长轴长的取值范围为（2，2）．
（2）若D为椭圆的焦点，则c=1，b2=a2-1   
由（1）知：b2==a2-1，
∴a2=9-a2∴a2=，b2=∴椭圆方程为：．