Question

已知向量=（cos（-θ），sin（-θ）），=．
（1）求证：．
（2）若存在不等于0的实数k和t，使=+（t²+3），=（-k+t），满足，试求此时的最小值．

Answer

（1）利用向量的数量积公式求出，利用三角函数的诱导公式化简得数量积为0，利用向量垂直的充要条件得证．
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用向量的运算律化简方程，将方程中的k用t表示，代入，利用二次函数最值的求法求出最小值．
【解析】
（1）证明∵=cos（-θ）•cos（-θ）+sin（-θ）•sin=sinθcosθ-sinθcosθ=0．
∴．
（2）解由得=0，
即[+（t2+3）]•（-k+t）=0，
∴-k+（t3+3t）+[t2-k（t+3）]=0，
∴-k+（t3+3t）=0．
又=1，=1，
∴-k+t3+3t=0，
∴k=t3+3t．
∴==t2+t+3=2+．
故当t=-时，有最小值．