Question

设f（x）是定义在实数R上的函数，g（x）是定义在正整数N^*上的函数，同时满足下列条件：
（1）任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），当x＜0时，f（x）＞1且；
（2）g（1）=f（0），g（2）=f（-2）；
（3），n∈N^*
试求：
（1）证明：任意x，y∈R，x≠y，都有；
（2）是否存在正整数n，使得g（n）是25的倍数，若存在，求出所有自然数n；若不存在说明理由．（阶乘定义：n!=1×2×3×…×n）

Answer

（1）利用赋值法，当x=y=0时，f（0）=f（0）•f（0），得出f（0）=1；再利用条件当x＞0时，f（x）=＜1，得对任意实数都有f（x）＞0，再对x，y的大小关系进行分类讨论：若x＜y，则f（x）=f（x-y）•f（y）＞f（y），从而f（x）-f（y）＞0；同理，若x＞y，＜0得证；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即存在正整数n，使得g（n）是25的倍数，再利用函数的单调性结合数列的质，求出g（n）的表达式，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（1）当x=y=0时，f（0）=f（0）•f（0），∴f（0）=0，f（0）=1
若f（0）=0，则得f（x）=f（x+0）=f（x）f（0）=0，不可能，舍去
∴f（0）=1
当x＞0时，f（x）=＜1，得，0＜f（x）＜1
∴f（x）＞0，x∈R
若x＜y，则，x-y＜0，f（x-y）＞1，f（x）=f（x-y）•f（y）＞f（y），
∴f（x）-f（y）＞0，＜0
同理，若x＞y，＜0∴任意x，y∈R，x≠y，都有＜0
（2）∵g（1）=f（0）=1，g（2）=f（-2）=f（-1）f（-1）=5
由（1）可得f（x）为单调减函数∵f[g（n+2）]=
∴g（n+2）=（n+3）g（n+1）-（n+2）g（n）
得∴g（n+2）-g（n+1）=（n+2）（g（n+1）-g（n）），n≥1
∴g（n）-g（n-1）=n（g（n-1）-g（n-2）），n≥3g（n-1）-g（n-2）=（n-1）（g（n-2）-g（n-3））
…g（3）-g（2）=3（g（2）-g（1））
相乘得：∴g（n）-g（n-1）=…①
又由①式得：g（n）-g（n-1）=g（n-1）-g（n-2）=
…g（3）-g（2）=，g（2）-g（1）=
相加得：g（n）-g（1）=，n≥2，
g（n）=2（2!+3!+…+n!）+1，n≥2，
g（1）=1，g（2）=5，g（3）=17，g（4）=65，g（5）=305，
g（6）=1745，g（7）=11825，g（8）=92465，g（9）=818225，
由于当n≥10时，n!能被25整除
综上，存在正整数n，当n=7或n≥9，n∈N时，g（n）是25的倍数．