Question

已知函数．利用函数y=f（x）构造一个数列{x_n}，方法如下：对于定义域中给定的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1）（n∈N^*），…如果取定义域中任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}．
（1）求实数a的值；
（2）若x₁=1，求（x₁+1）（x₂+1）…（x_n+1）的值；
（3）设T_n=（x₁+1）（x₂+1）…（x_n+1）（n∈N^*），试问：是否存在n使得T_n+T_n+1+…+T_n+2006=2006成立，若存在，试确定n及相应的x₁的值；若不存在，请说明理由？

Answer

（1）根据题意可知，当x≠a时方程（1+a）x=a2+a-1无解，所以对于任意x∈R，（1+a）x=a2+a-1无解．由此能求出a．
（2）当a=-1时，对于x1≠-1，有，，同理得xn+2=xn对一切n∈N*都成立，即数列{xn}是一个以2为周期的周期数列．由此能求出（x1+1）（x2+1）…（xn+1）的值．
（3）由，知Tk+Tk+1+Tk+2+Tk+3=0（k∈N*），若Tn+Tn+1+…+Tn+2006=2006，则Tn+Tn+1+Tn+2=2006（n∈N*），由此能求出当n=4k，x1=2005或n=4k-2，x1=-2007时Tn+Tn+1+…+Tn+2006=2006．
【解析】
（1）根据题意可知，xi≠a（i=1，2，3，…），
则x≠a，
且方程无解，--（2分）
即当x≠a时方程（1+a）x=a2+a-1无解，
由于x=a不是方程（1+a）x=a2+a-1的解，
所以对于任意x∈R，（1+a）x=a2+a-1无解．
则a+1=0，且 a2+a-1≠0，
故a=-1．-----（6分）
（2）当a=-1时，对于x1≠-1，
有，，
同理得xn+2=xn对一切n∈N*都成立，
即数列{xn}是一个以2为周期的周期数列．--（10分）
则，
故-----（12分）
（3）由（2）易知：-----（14分）
则Tk+Tk+1+Tk+2+Tk+3=0（k∈N*），
若Tn+Tn+1+…+Tn+2006=2006，
则Tn+Tn+1+Tn+2=2006（n∈N*），
又-----（18分）
故当n=4k，x1=2005或n=4k-2，x1=-2007时，
Tn+Tn+1+…+Tn+2006=2006-（20分）