Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象经过点（0，0），其导函数f'（x）=2x+1，当x∈[n，n+1]（其中n∈N^*）时，f（x）为整数的个数记为a_n．
（1）求a，b，c的值；
（2）求a₁及数列{a_n}的通项公式；
（3）令．

Answer

（1）先根据f（0）=0求得c，进而对函数f（x）的解析式求导，进而求得b和a．
（2）先根据题意可知an=（n+1）（n+2）-n（n+1）+1进而求得 an+1两式相减可推断数列{an}是等差数列，进而根据等差数列的通项公式求得答案．
（3）把（2）中求得的an代入bn，进而利用裂项法求和进行放缩即得．
【解析】
（1）∵f（0）=c=0
∴c=0，
f′（x）=2ax+b=2x+1
∴a=1，b=1
（2）当x∈[n，n+1]（其中n∈N*）时，f（x）为整数的个数记为an．
∴a1=5，
∵f（x）在x∈[n，n+1]上单调递增，
∴an=f（n+1）-f（n）+1=2n+3．
（3）bn==（ -），
{bn}的前n项和 Sn=（-+-+…+-）=（ -）．